私はプログラミングを趣味・仕事としているのですが
物理シミュレーションを取り扱ったプログラムは未だに書いたことがありません。
そこで，私の好きなスポーツ，カーリングを用いて
楽しく物理数学とそのプログラミングを学びたいと思い，このページを書き始めました。
（プログラム的なことは，少ししか書きませんが…）
たぶん，プログラム上でカーリングらしい動きを表現するために式を書いているので
物理学的におかしいことだらけだと思います。ご了承ください。
このページを読むにあたって，高校レベルの数学・物理程度をあらかじめ理解しておく必要があります。
また，カーリングの用語を知っておくと読みやすくなります。
デリバリーとはストーンを投げることを言います。
カーリングの基本は，ハウスとよばれる円の中心にストーンが止まるようにデリバリーします。
この節では，デリバリーされたストーンがカールせず，そしてほかのストーンにも当たらずに止まるまでのの動きを書きます。
まずはじめに，
１次元で摩擦のないシートでは，どのようにストーンが動くのか考えます。
<条件>
・シートは｛奥行き｝のみの１次元（横幅がない一直線上のシートの上にストーンをデリバリーする）
・シートとストーン間の摩擦はない
・カールしない
<変数定義>
v0：投球者がストーンを離す瞬間の速度，初速度
t：ストーンを離してからの時間（秒）
a：加速度，摩擦がないため0
投球者がストーンを離す位置をx=0とします。
t秒後の位置x(t)は
x(t) = v0 * t + 0.5 * a * t^2 = v0 * t
t秒後の速度v(t)は
v(t) = v0 + a * t = v0
摩擦がないため，投球者の手から離されたストーンは止まることはありません。
次に，１次元という条件は同じままにして，
シートに摩擦があるとして，どのようにストーンが動くのか考えます。
<条件>
・シートは｛奥行き｝のみの１次元
・シートとストーン間の摩擦はあり
・カールしない
ストーンとシート間の摩擦を加速度として考えます。
<変数定義>
v0：投球者がストーンを離す瞬間の速度，初速度
t：ストーンを離してからの時間（秒）
a：加速度 = シート間の摩擦
t秒後の位置x(t)は
x(t) = v0 * t + 0.5 * a * t^2
t秒後の速度v(t)は
v(t) = v0 + a * t
スウィーピングをすると，加速度aが一定でなく動的に変わるため，
この２つの式は成り立たなくなります。
スウィーピングすることで，スウィーピングされた箇所の加速度は0に近くなります。
また加速度をシート間との摩擦と定義しましたが，
実際はストーンに対する空気抵抗も加速度に影響します。
つまり，本来の加速度aは
加速度 = 空気抵抗による１秒あたりの減少する速度 ＋ シートとストーン間の摩擦によって減少する速度
となり，２つの成分から構成されています。
トリノ五輪のカーリング男子決勝のフィンランドの1stEndの1stショットを元に
加速度を求めてみましょう。
このショットは，
ドローショット（ハウスの中にストーンを置くショット）で
ある程度，真ん中に近いところで止まりました。
フィンランド選手はスウィーピングをしていましたが
ここでは，スウィープしていなかった（加速度は一定）とします。
このショットの情報は次の通りです。
・ストーンを手から離したフォグラインからストーンが止まるまでに要した時間は24.3秒
・ストーンを手から離す前の，ハウスの外円から外円までに要した時間は1.58秒
・ハウスの直径は3.66m
時間に関してはVTR見ながらストップウォッチで測りました。
ハウスの外円から外円までに要した時間と，ハウスの直径の情報から
初速度v0 = 3.66 / 1.58 = 2.32 m/s (有効桁数３桁)
v(t) = v0 + a * t より
a = ( v(t) - v0 ) / t
tは，ストーンが止まるまでに要した時間なのでv(t)=0となり，
a = v0 / t = 2.32 / 24.3 = 0.0956 (有効桁数３桁)
よって， トリノ五輪カーリング男子決勝1stエンドのフィンランド1stショット時の
加速度は-0.0956
次に，
目標ハウス側のフォグラインを通過した時間を用いて
位置の誤差を求めてみましょう。
追加情報は次のとおりです。
・フォグライン間に要した時間は14.5秒
・フォグライン間の距離は21.95m
先ほど求めた加速度を用いて
目標ハウス側のフォグラインを通過した時間後の位置を求めると
x(t) = v0 * t + 0.5 * a * t^2 より
x(t) = 2.32 * 14.5 + 0.5 * -0.0956 * 14.5^2 = 23.6m (有効桁数３桁)
よって誤差は 23.6 - 21.95 = 1.65m
最後に，実際のシートと同じ２次元・摩擦ありで考えます。
ストーンの位置はXY座標で表すとします。
x成分をシートの長い方の辺，
ｙ成分をシートの短い方の辺とします。
センターライン上をY=0とします。
デリバリー側のフォグライン上をX=0とし，目標ハウスに向かってXの値が増加するとします。
（本来なら図示説明すべきところですね；）
また，ストーンの動作に関して，次の２つの要素をもった２次元ベクトルの情報を持つとします。
・角度
（進行方向，ハウスから目標ハウスに対する方向を0度とする）
・速度（進行方向に向かって毎秒進む速さ）
<条件>
・シートは２次元
・シートとストーン間の摩擦あり
・カールはしない
<変数定義>
v0：投球者がストーンを離す瞬間の速度，初速度
θ0：投球者がストーンを離す瞬間の角度，初角度
x0：投球者がストーンを離す位置
y0：投球者がストーンを離す位置
t：ストーンを離してからの時間（秒）
a：加速度 = シート間の摩擦
t秒後の位置，x(t)とy(t)は
x(t) = cos( θ0 ) * ( v0 * t + 0.5 * a * t^2 ) + x0
y(t) = sin( θ0 ) * ( v0 * t + 0.5 * a * t^2 ) + y0
また，t秒後の速度v(t)は
v(t) = v0 + a * t
t秒後の角度θ(t)は
θ(t) = θ0
カールをするようになると，t秒後の角度は初角度は異なり，
t秒後の位置もこの式では計算できません。
ストーンが進行中に曲がることを「カールする」と言います。
この節では，前節の「デリバリー」をふまえて
カールを考慮した計算式を考えていきます。
進行方向に対して毎秒？度カールする
という単純なカールを想定した計算式を考えます。
<条件>
・シートは２次元
・シートとストーン間の摩擦あり
・カールする
<変数定義>
v0：投球者がストーンを離す瞬間の速度，初速度
θ0：投球者がストーンを離す瞬間の角度，初角度
x0：投球者がストーンを離す位置
y0：投球者がストーンを離す位置
φ：ストーンの方向に対して毎秒変化する角度
t：ストーンを離してからの時間（秒）
a：加速度 = シート間の摩擦
t秒後の速度v(t)はカールがあってもなくても同じで
v(t) = v0 + a * t
t秒後のx方向に対する速度vx(t)は
vx(t) = cos( θ0 + φ * t ) * ( v0 + a *t )
t秒後のy方向に対する速度をvyは
vy(t) = sin( θ0 + φ * t ) * ( v0 + a *t )
t秒後の角度θ(t)は
θ(t) = θ0 + φ * t
t秒後の位置x(t)とy(t)は，
速度vx(t),vy(tIを積分することにより求められないので
台形公式を用いることで求めます。
先ほど求めた式はシートとストーン間の摩擦に関係なく
時間のみに相関してカールする式でした。
ここでは，カール係数というものを定義することで
ストーン間の摩擦に関係してカールする計算式を求めます。
前に述べたように，ストーンに対する加速度は
・空気抵抗（Ar)
・シートとストーン間の摩擦(Af)
の２つの成分から成り立っています。
カールに関係するのはこのうち「シートとストーン間の摩擦」になります。
<条件>
・シートは２次元
・シートとストーン間の摩擦あり
・カールする
<変数定義>
v0：投球者がストーンを離す瞬間の速度，初速度
θ0：投球者がストーンを離す瞬間の角度，初角度
x0：投球者がストーンを離す位置
y0：投球者がストーンを離す位置
φ：ストーンの方向に対して毎秒変化する角度
t：ストーンを離してからの時間（秒）
Ar：空気抵抗
による１秒間の減少速度
Af：シートとストーン間の摩擦 による１秒間の減少速度
a：加速度 = Ar + Af
C：カール係数
t秒後の角度θ(t)は
θ(t) = θ0 + φ * C * Af * t
t秒後のx方向に対する速度vx(t)は
vx(t) = cos( θ0 + φ * C * Af * t ) * ( v0 + a *t )
t秒後のy方向に対する速度をvyは
vy(t) = cos( θ0 + φ * C * Af * t ) * ( v0 + a *t )
t秒後の位置x(t)とy(t)は先ほどと同じように
台形公式を用いることで求めます。
カーリングでは，スウィープすることでシートとストーン間の摩擦が減少させ，
ストーンのカールの幅を狭くする（曲がりにくくする）
ため
カール係数は，シートとストーン間の摩擦が減少するとストーンの曲がりも減少する
ように定義することになります。
トリノ五輪のカーリング男子決勝のフィンランドの1stEndの1stショットを元に
加速度を求めてみましょう。
投げたストーンが他のストーンに当たることをヒットと言います。
ここでは，ヒットしたストーンがどのように動くのか考えます。
まず，静止しているストーンに投げた石がヒットしたときの動きを考えます。
<条件>
・ストーンAは静止している
・ストーンBは動いている
・ストーンAとBは接触している（ヒットする瞬間）
・ストーン間の摩擦はなし
・ストーンAとBの重さは等しい
<変数定義>
Ax：ストーンAのX座標
Ay：ストーンAのY座標
Bx：ストーンBのX座標
By：ストーンBのY座標
Bv0：ストーンBの速度
Bθ0：ストーンBの進行方向
ストーンAとストーンBが接触した座標X,Yは
X = ( Ax + Bx ) / 2
Y = ( Ay + By ) / 2
ストーンAのヒット後の進行方向Aθは
Aθ = arctan( ( Ax - Bx ) / ( Ay - By ) )
ストーンBのヒット後の進行方向Bθは
Bθ0に関係なくAθに対して90度変化した方向，つまり，
Bθ = Aθ + π / 2
もしくは，
Bθ = Aθ - π / 2
で，Bθ0との差が小さい方の方向，つまり
( Bθ-Bθ0 )^2
が小さい方の方向に進む。
ただし，ストーンBの入射角φが
φ = Bθ0 - Aθ0 ≠ 0
の時に限ります。
ストーンAのヒット後の進行速度Avは
Av = Bv0 * cos( Aθ - Bθ0 )
ストーンBのヒット後の進行速度Bvは
Bv = Bv0 * cos( Bθ - Bθ0 )
次に動いているストーンにヒットしたときの動きを考えます。
前の節を復習すると，
静止しているストーンに動いているストーンがヒットした場合，
進行方向は
静止しているストーンには接触座標の反対側の方向に，
動いているストーンには静止しているストーンに加えた方向に対して90度の方向になり
速度はそれぞれに分散します。
両方のストーンが動いている場合は
お互いにこの計算をすればいいことになります。
<条件>
・ストーンAは動いている
・ストーンBは動いている
・ストーンAとBは接触している（ヒットする瞬間）
・ストーン間の摩擦はなし
・ストーンAとBの重さは等しい
<変数定義>
Ax：ストーンAのX座標
Ay：ストーンAのY座標
Av0：ストーンAの速度
Aθ0：ストーンAの進行方向
Bx：ストーンBのX座標
By：ストーンBのY座標
Bv0：ストーンBの速度
Bθ0：ストーンBの進行方向
ストーンAとストーンBが接触した座標X,Yは
X = ( Ax + Bx ) / 2
Y = ( Ay + By ) / 2
ストーンAがストーンBに加えられるベクトルの進行方向Aθ1は
Aθ1 = arctan( ( Ax - Bx ) / ( Ay - By ) )
ストーンBがストーンAに加えられるベクトルの進行方向Bθ1は
Bθ1 = arctan( ( Bx - Ax ) / ( By - Ay ) )
ストーンAがストーンBにヒットすることにより変化した進行方向Aθ2は
Aθ2 = Bθ1 + π / 2
もしくは，
Aθ2 = Bθ1 - π / 2
このうち，Aθ0との差が小さい方の方向。
ストーンBがストーンAにヒットすることにより変化した進行方向Bθ2は
Bθ2 = Aθ1 + π / 2
もしくは，
Bθ2 = Aθ1 - π / 2
このうち，Bθ0との差が小さい方の方向。
ストーンBにより加えられるストーンAの進行速度Av1は
Av1 = Bv0 * cos( Aθ1 - Bθ0 )
ストーンA自身によるヒット後の進行速度Av2は
Av2 = Av0 * cos( Aθ2 - Aθ0 )
ストーンAにより加えられるストーンBの進行速度Bv1は
Bv1 = Av0 * cos( Bθ1 - Aθ0 )
ストーンB自身によるヒット後の進行速度Bv2は
Bv2 = Bv0 * cos( Bθ2 - Bθ0 )
ストーンAには，Aθ1の方向にAv1の速度ベクトルとAθ２の方向にAv2の速度ベクトルがかかっています。
Av1のX成分，Av1xは
Av1x = Av1 * cos( Aθ1 )
Av1のY成分，Av1yは
Av1y = Av1 * sin( Aθ1 )
同様に，Av2のX成分Av2xとAv2のY成分Av2yは
Av2x = Av2 * cos( Aθ2 )
Av2y = Av2 * sin( Aθ2 )
これより，ストーンAのヒット後のX方向の速度Avx,ストーンBのY方向の速度Avyは
Avx = Av1x + Av2x
Avy = Av1y + Av2y
よって，ストーンAのヒット後の速度Avは
Av = √( Avx^2 + Avy^2 )
ストーンAのヒット後の進行方向Aθは
Aθ = arctan( Avx / Avy )
Bv，Bθも同様に求められます。